Média de porcentagens
Para fazer a média de porcentagens de grupos de tamanhos diferentes, não some e divida: use a média ponderada, que pesa cada porcentagem pelo tamanho do seu grupo, ou volte às quantidades e calcule total da parte ÷ total geral. Para taxas de crescimento mês a mês, a média certa é a geométrica.
Por que a média simples de porcentagens costuma errar
Cada porcentagem é uma fração de um total diferente. Somar 90% de uma turma com 50% de outra e dividir por 2 trata as duas turmas como se tivessem o mesmo número de alunos, o que raramente é verdade.
Exemplo: a turma A tem 30 alunos e 90% de aprovação; a turma B tem 10 alunos e 50% de aprovação. Qual a taxa de aprovação da escola nessas duas turmas?
| Turma | Alunos | Aprovação | Aprovados |
|---|---|---|---|
| A | 30 | 90% | 27 |
| B | 10 | 50% | 5 |
| Total | 40 | 80% | 32 |
A média simples daria (90% + 50%) ÷ 2 = 70%. Mas, contando alunos, foram 32 aprovados em 40, ou seja, 80%. A turma maior puxa o resultado para perto da taxa dela.
Quando a média simples funciona: só quando todos os grupos têm o mesmo tamanho (o mesmo denominador). Duas turmas de 30 alunos com 90% e 50% de aprovação têm, juntas, exatamente 70%.
Média ponderada de porcentagens
A média ponderada multiplica cada porcentagem pelo seu peso, soma tudo e divide pela soma dos pesos:
No exemplo das turmas: (90 × 30 + 50 × 10) ÷ (30 + 10) = (2.700 + 500) ÷ 40 = 3.200 ÷ 40 = 80%. É o mesmo resultado de contar os aprovados, como deveria ser: a média ponderada nada mais é que um atalho para não precisar voltar às quantidades.
Notas com pesos diferentes
Numa disciplina, a primeira prova tem peso 2 e a segunda, peso 3. Um aluno tirou 70% na primeira e 85% na segunda.
Média = (70 × 2 + 85 × 3) ÷ (2 + 3) = (140 + 255) ÷ 5 = 395 ÷ 5 = 79%. A média simples seria 77,5%, mas a prova com mais peso, em que ele foi melhor, conta mais.
Se as provas tiverem números de questões diferentes e todas as questões valerem o mesmo, o “peso” é o número de questões. Nesse caso, o mais simples é somar os acertos e dividir pelo total de questões, como em porcentagem de acertos.
Rendimento médio de uma carteira
Você tem 70% do dinheiro aplicado num investimento que rendeu 1% no mês e 30% em outro que rendeu 3%. O rendimento da carteira no mês é 0,70 × 1% + 0,30 × 3% = 0,7% + 0,9% = 1,6%, e não a média simples de 2%. Aqui o peso é a fatia do dinheiro em cada aplicação.
Média geométrica: a média certa para taxas de crescimento
Quando as porcentagens são variações sucessivas (inflação de cada mês, rendimento de cada ano, crescimento de vendas), elas não se somam: se multiplicam. Por isso a média aritmética, simples ou ponderada, também erra. A taxa média por período é dada pela média geométrica dos fatores:
Exemplo: uma aplicação rendeu +2%, +5% e −3% em três meses. Quanto ela rendeu, em média, por mês?
- Fator acumulado: 1,02 × 1,05 × 0,97 = 1,03887, ou seja, +3,887% no trimestre. R$ 1.000 viraram R$ 1.038,87.
- Raiz cúbica (expoente 1/3, porque são 3 meses): 1,038871/3 ≈ 1,012792.
- Taxa média: 1,012792 − 1 ≈ 1,28% ao mês.
A média simples seria (2 + 5 − 3) ÷ 3 ≈ 1,33% ao mês. Parece próximo, mas aplicando 1,33% por três meses o resultado seria cerca de 4,05% no trimestre, e não os 3,887% que de fato aconteceram. Com 1,28% ao mês, a conta fecha.
O caso extremo mostra bem o problema: um investimento que sobe 10% e depois cai 10% tem média simples de 0%, mas o resultado real é 1,10 × 0,90 = 0,99, uma perda de 1%. A média geométrica, 0,991/2 − 1 ≈ −0,50% por período, reflete essa perda. Para acumular taxas sem errar, use a calculadora de porcentagem acumulada; para a lógica de crescimento sobre crescimento, veja juros compostos.
Paradoxo de Simpson: quando a média engana de vez
Ponderar errado pode não só mudar o número, mas inverter a conclusão. Considere um processo seletivo hipotético com dois cursos:
| Curso | Homens aprovados | Mulheres aprovadas |
|---|---|---|
| Curso X | 80 de 100 (80%) | 18 de 20 (90%) |
| Curso Y | 4 de 20 (20%) | 30 de 100 (30%) |
| Total | 84 de 120 (70%) | 48 de 120 (40%) |
Em cada curso, as mulheres têm taxa de aprovação maior. No total, porém, os homens aparecem com 70% contra 40%. Não há erro de conta: a maioria das mulheres se inscreveu no curso Y, que aprova pouca gente, e a maioria dos homens no curso X, que aprova muito. A taxa geral mistura “quem foi aprovado” com “onde cada grupo se inscreveu”.
A lição prática: antes de comparar porcentagens agregadas, veja se os grupos têm composições parecidas. Se não tiverem, compare dentro de cada subgrupo.
Resumo: qual média usar
| Situação | Média correta |
|---|---|
| Porcentagens de grupos do mesmo tamanho | Simples |
| Grupos de tamanhos diferentes (turmas, lojas, cidades) | Ponderada pelo tamanho, ou total da parte ÷ total geral |
| Notas ou critérios com pesos | Ponderada pelos pesos |
| Variações sucessivas no tempo (mensal, anual) | Geométrica dos fatores (1 + taxa) |
Outras armadilhas de quem trabalha com várias porcentagens ao mesmo tempo estão em erros comuns com porcentagem.
Perguntas frequentes
Posso somar porcentagens e dividir pela quantidade?
Só se todas as porcentagens se referirem a grupos do mesmo tamanho. Com tamanhos diferentes, use a média ponderada: multiplique cada porcentagem pelo tamanho do grupo, some e divida pelo total. Com 90% de 30 alunos e 50% de 10 alunos, a média correta é 80%, não 70%.
Como calcular a média ponderada de porcentagens?
Multiplique cada porcentagem pelo seu peso, some os resultados e divida pela soma dos pesos. Com 70% de peso 2 e 85% de peso 3, a média é (140 + 255) ÷ 5 = 79%.
Como calcular a média de rendimentos mensais?
Multiplique os fatores de cada mês (1 + taxa), tire a raiz de índice igual ao número de meses e subtraia 1. Para +2%, +5% e −3%, o fator é 1,03887 e a média é cerca de 1,28% ao mês.
Por que subir 10% e cair 10% não dá zero?
Porque a queda incide sobre um valor maior. 100 com 10% a mais vira 110, e 110 com 10% a menos vira 99. O resultado final é uma perda de 1%, embora a média simples das duas taxas seja zero.
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